Vlakvullingen

Wat je waarschijnlijk wel gemerkt hebt aan een aantal plaatjes van Escher die je gezien hebt, is dat alles perfect past. Er blijven geen gaten over en Escher vult zijn hele canvas. Sterker nog, stel dat Escher een oneindig groot canvas had. Zelfs dan kon hij het helemaal vullen zonder gaten. Een herhalend patroon dat het oneindige vlak vult zonder gaten noemen we een regelmatige vlakvulling of een betegeling. Er zijn oneindig veel vormen waarmee je een regelmatige vlakvulling kan maken. Hieronder zie je een korte video van hoe dit werkt met zeshoeken.

Als we dit blijven doen, kunnen we oneindig lang doorgaan zonder dat er ooit een gat valt! Dit kan je dus ook doen met veel ingewikkeldere (en mooiere!) patronen. Escher deed dit in de onderstaande schilderijen.

Regelmatige vlakvullingen bestaan uit een patroon, iets dat zich constant herhaalt om zo het hele oneindige vlak te vullen. Maar er bestaan ook onregelmatige vlakvullingen. Dit zijn vlakvullingen die zich niet aan een patroon houden, hieronder zie je een voorbeeld.

vlakvulling, litho, 1957

Zoals je kan zien is er geen oneindig patroon dat je kan aanhouden om deze vlakvulling te maken. Bekijk de onderstaande vorm. Deze vorm bestaat uit 2 delen die je ook uit elkaar mag halen. We kunnen dus ook regelmatige vlakvullingen maken met meerdere vormen.

Dit is een parallellogram, dus we kunnen hier een regelmatige vlakvulling mee maken. Dat doen we door deze, net als in de video, oneindig vaak naast elkaar te zetten

Maar als we de 2 stukken een beetje anders gebruiken, kunnen we ook een onregelmatige vlakvulling maken.

Dus er zijn vormen die zowel een regelmatige als onregelmatige vlakvulling kunnen maken. Als we nu terug kijken naar de Hexagon die we zagen in het filmpje, kan je misschien zien dat deze geen onregelmatige vlakvulling kan maken. Dus de Hexagon vult het vlak álleen regelmatig! Hieruit leidt dan de vraag; zouden er vormen of combinaties van vormen zijn die het vlak alleen onregelmatig vullen?

Bekijk de onderstaande figuren:

De linker noemen we een ‘Kite’ en de rechter noemen we een ‘Dart’. We willen deze figuren als tegels gebruiken voor een vlakvulling. Hiervoor gaan we eerst wat regels voor het leggen van de tegels. Als eerste moet elke rode lijn overlopen op een andere rode lijn. Dit geldt ook voor de groene lijnen. Als we de tegels zo leggen, kunnen we een vlakvulling maken. Als we inzoomen op een stukje van de vlakvulling, zijn we benieuwd hoe dit eruitziet. We willen dit doen door te kijken naar de zogenaamde ‘hoekpunt buurten’. Dit zijn de figuren gemaakt uit de Kite en Dart tegels die precies om één hoekpunt heen liggen. Dus zodanig dat alle Kites en Dart in dit figuur maar één punt gemeen hebben en dat dit punt helemaal omsloten is. Dit punt is blauw aangegeven in het onderstaande voorbeeld.
Hieronder zie je het voorbeeld, dit figuur heet Ace:

Kopieer de afbeelding van de 2 tiles die je boven zag staan en zet ze zelf in Powerpoint. Door het 2 keer te kopiëren en een beetje bij te snijden heb je de 2 aparte tegels. Schuif er een beetje mee rond. Welke vormen die aan de regels voldoen (net als Ace) kan je maken? Probeer zoveel mogelijk!
hint: Elk figuur bestaat uit maximaal 5 Kites of Darts!