Escher was door zijn broer, die geoloog was, gefascineerd door de vormen van kristallen. Achter deze mooie kristalstructuren zit ook veel mooie wiskunde. Als we bijvoorbeeld naar de kubus kijken zien we dat het bestaat uit zes vierkanten. Het bijzondere is dat in elk hoekpunt evenveel vierkanten samenkomen (namelijk 3) en dat het helemaal bestaat uit één soort veelhoek (een vierkant).
Ook de driehoekige piramide heeft 3 driehoeken die samenkomen in elk hoekpunt.
Euclides, een Griekse wiskundige, heeft al rond 200 voor Christus bewezen dat er maar vijf van dit soort figuren bestaan. Deze vijf heten de platonische lichamen en ze komen vaak voor in de werken van Escher.
- een 3D-figuur
- het bestaat uit dezelfde 2D-figuren die aan elkaar geplakt zijn
- op elke hoek komen minstens 2 van de figuren samen!
In deze prenten van Escher kan je de platonische lichamen terugzien. Links zie je drie octaëders in verschillende kleuren door elkaar heen. Rechts zie je een aantal losse platonische lichamen zweven, maar ook een paar lichamen die ingewikkeld in zichzelf geweven zijn.
Waarom bestaan er eigenlijk maar 5 platonische lichamen? Dit is namelijk een leuk wiskundig trucje!
Hoeveel graden is een hoek van een vierkant? En van een driehoek? En een vijfhoek en een zeshoek?
Een platonisch lichaam wordt gemaakt door meerdere van deze figuren aan elkaar te plakken. Maar belangrijk is dat in elk punt meer dan twee figuren samenkomen, en dat de som van de hoeken minder is dan 360°. Daarom hebben we maar 5 platonische figuren!
Bekijk het viervlak (= de tetraëder).
Die bestaat uit allemaal driehoeken. Elke hoek van een driehoek heeft 60°. Als we drie driehoeken samen laten komen in één punt, dan kunnen we de som van de hoeken berekenen. Dat is 3 x 60° = 180°. Die som is minder dan 360°, vandaar dat de tetraëder inderdaad een platonisch lichaam is!