Als we het hebben over ruimtelijke figuren kunnen ze niet ontbreken; de platonische lichamen. Dit zijn 3-dimensionale (3D) figuren met de volgende eigenschappen:
- Het is een 3D-figuur
- Alle vlakken zijn even groot
- Alle hoeken zijn even groot
- Alle randen zijn even lang
- In elke hoek komen evenveel vlakken samen
Een voorbeeld van een platonisch lichaam is dus bijvoorbeeld de kubus. De 5e eigenschap is ook waar omdat in elke hoek van de kubus 3 vlakken samenkomen. De eigenschappen 2 tot 4 kan je ook schrijven op een andere manier. Je kan namelijk zeggen dat een platonisch lichamen moet bestaan uit dezelfde 2D-figuren die aan elkaar zitten. De kubus bestaat dus bijvoorbeeld alleen uit vierkanten.
De platonische lichamen worden al duizenden jaren bestudeerd. Een Griekse wiskundige, Euclides, heeft in 200 BC bewezen dat er maar 5 van dit soort lichamen bestaan. Ze zijn dus erg speciaal! Hieronder zie je een tabel met de 5 platonische lichamen.
Escher bestudeerde deze figuren omdat hij, door zijn broer die geoloog was, zeer geïnteresseerd was in de vormen van kristallen. Hij verwerkte deze figuren ook vaak in zijn werk. Hieronder zie je twee voorbeelden:
De reden dat er maar 5 platonische lichamen zijn heeft te maken met de eisen die gesteld worden. Om aan de eigenschappen die boven genoemd worden te voldoen moeten er namelijk ook regels gelden voor de 2D-figuren waar een platonisch lichaam uit bestaat. Er geldt namelijk dat er in een hoekpunt van een platonische lichaam minimaal drie 2D-figuren moeten samenkomen, anders krijg je geen gesloten figuur (probeer maar!). Dus er zouden minimaal 3 vlakken samen moeten komen in 1 hoekpunt én er moet gelden dat alle hoeken gelijk zijn (eigenschap 3). De hoek van een platonisch lichaam kan natuurlijk niet groter zijn dan 360 graden en het mag ook niet gelijk zijn aan 360 want anders worden je vlakken niet even groot. De hoek moet dus kleiner zijn dan 360 graden en dit betekent dat de hoeken van de 2D-figuren die samenkomen in dit hoekpunt, bij elkaar kleiner moeten zijn dan 360 graden.
Bekijk nu weer de kubus, hier komen 3 vlakken samen in elk hoekpunt. De hoeken van de vierkanten die samenkomen in zo’n hoekpunt is 90 graden. Dus de hoeken bij elkaar zijn 3 x 90 = 270 en dit is kleiner dan 360.
Kan je bedenken met welke 2D-figuren er platonische lichamen te maken zijn?
Alleen met de driehoek, het vierkant en de Pentagon. Dit komt omdat de hoeken in deze figuren 60, 90 en 108 graden zijn. Omdat er geldt dat er minimaal 3 vlakken moeten samenkomen in een hoekpunt, kunnen we geen andere regulier figuur gebruiken. Neem bijvoorbeeld de Hexagon. Deze heeft hoeken van 120 graden en 3 x 120 = 360 wat dus al niet meer zal voldoen aan de eigenschappen van een platonisch lichaam. De hoeken van de figuren die volgen worden ook alleen maar groter dus de enige opties zijn de driehoek, het vierkant en de Pentagon.
Kijk nog eens naar dit werk:
Rechtsboven zie je iets wat lijkt op twee viervlakken (tetraëders) die half in elkaar geschoven zijn. Dit heet de Keplerster en komt tevoorschijn als je binnen een kubus twee tetraëders op de juist manier neerzet. de plekken waar de randen van deze tetraëders samenkomen vormen dan ook een achtvlak (octaëder). Hieronder zie je hoe de twee tetraëders (blauw en rood) in een zwarte kubus zouden zitten en ook de octaëder (groen) die tot stand komt.
Als je nu de kubus weglaat krijg je een mooie ster!